第四章无粘可压缩流动的数值方法（I）

（特性分析及其应用）

无粘可压缩流动（气体力学范畴），其描述的方程以双曲型为主，（仅当定常亚音速流动时为椭圆型问题），故这类问题的数值解法与双曲型问题的特征性质紧密相关，它的很多数值方法的特点建立于特征分析基础之上的；无粘可压缩流动的另一个特点是；存在激波解（间断），在数值处理方面将带来新的问题，本章的主要内容：第一部分包含双曲问题的特征方法及其延伸，第二部分是激波间断的数值解法。

§4.1 双曲方程的特征分析

一，两个自变量的双曲方程的特征分析

方程；

U,C为m维向量

       A,B为m×m维矩阵

1,定义：

如果存在偏微分方程的线性组合，使得所有的未知量都只保留在某一个方向上的微分，则这个方向称之为特征方向。如果一条曲线上每一点的切线方向都是特征方向，则该曲线称之为特征线。

2．特征线性质；

1）  在特征线上不能任意给初值，它必须满足（沿特征线的）切向微分关系即特征关系，或称特征相容关系；

这一性质的另外一些说法是；在特征线上给定初值问题（柯西问题）是不适定的，即不能由此唯一地确定其领域上的解（若此给初值不满足相容关系则无解，若满足特征相容关系，则有无穷多组解）

2）  特征线是解的唯一可能的分支线（ 非切向导数不唯一确定）

3）  特征线是解可能有间断的一阶导数的线（即在特征线上一阶导数可有间断）

4）  特征线是信息传播的迹线；

3．特征方程及特征相容关系的求法

1）求法1，（气体力学中已有介绍）

例；定常超音速小扰动方程:

 为扰动速度势

B．C．：

或返回原变量，即：  

有            

为了寻找特征线方程，设ds方向为特征方向，并在ds方向上求微分：(切向微分)

由(1)-(4)式,如果要使得不能唯一确定的解，由线性代数方程性质应有其系数矩阵为奇异，即：

                      由此解得;       ―――特征线方程

进而,若满足, 即在沿特征线方向上, 要有非零解的条件应是：

展开并代入：       得：

即

        2）求法2；利用矩阵的特征分析方法

     考虑双自变量的双曲方程；

        守恒型方程

或          非守恒型方程，

若A(U)有m个互异的实特征值和完备的特征向量组,则称方程是严格双曲型的.

记特征值为

左特征向量组;

根据矩阵的特征分析，有： 

则特征线方程为  

并且相应的特征相容关系：(特征化形式的方程);

（相当于将原方程组的每一个方程乘以某一权后再线性叠加!）

代入

若定义左特征向量矩阵为：

则相容关系写成;

特征值对角线矩阵               

※采用方法（2）对方法（1）之例题，可以得到完全相同的结果。

§4.2双曲型问题的特征线算法

      由以上导出的特征线方程以及特征相容关系可以建立特征线算法

一，Massau特征线法;   (二维问题)

考虑m=2, 即两个因变量的简单状况,有;

特征线C_i :    

相容关系  

设物理问题由一条非特征线(曲线)为初值线,则线上的均为已知值.

具体步骤：

1.初值线分割;

                                       初值线分割类似于网格划分

                                       各个离散点的坐标均为已知

                                   其函数值即为初值。

2，Massau的特征线方法计算流程：

   由分别向上(t 正方向)引特征线,交于点

l         首先计算新的离散点的坐标值，由（离散求得）

联立求解出；  即新的离散计算点的坐标值

l         由相应的相容关系，差分离散后计算新的离散点（计算点）上的函数值。

即；

联立求出

3.校正计算

以上计算中，从差分逼近上说，只是采用了沿特征线上用向前差分代替了微分关系，其精度是为一阶精度，为此再进行校正计算以求达到二阶精度

办法是：

其中f匹配为等.

4逐层计算过程.

由相当于向前推进一步,(层),一直计算下去,直至离散改变为一个为止,计算得出一个曲边三角形.

二.Courant-Isaacson-Rees差分特征线方法。

  Massau特征线法的缺点：

l         网格和函数值混在一块儿计算,故求出的离散点的位置是很不规则的,数据处理麻烦；

l         当以后massau方法更难于确定新的层面上的离散格点的位置,

C-I-R的差分特征线方法,其实质上是非线性方程的迎风差分格式,故精度为一阶.它克服了Massau方法的不足

◆方法具体步骤：（以m=3为例介绍）

1、求解域的离散（网格划分），在满足CFL条件下的单纯网格划分；

          即

分析，过D有三条特征线，并分别交AC于P₁ P₂ P₃点，由CFL条件知

P₁P₂P₃ 在之内, 对此有：

但上式积分,仅当  为常数时，才可以精确积出。在一般情况下必须考虑数值（近似）计算.。

C-I-R类似地也采用预估-校正方法，具体步骤：

i) 

               ii)采用线性插值公式（内插）

同时计算  

iii)

  采用差分格式为；

联立上述方程，求出的第一次近似值，同时计算:

, ,

校正计算；

  重复（1-3）的步骤，但所有的系数均按特征线C_i的上,下两个端点的值,做算术平均值代替,校正计算一般进行一次,至多二次。

l         这一算法与特征线偏心差分方法本质区别在于，它是非线性方程的迎风格式

l         满足CFL条件下格式稳定

l         一阶精度，故有格式耗散（格式粘性）